11  方差缩减技术

随机模拟有很好的适用性，但仍然有精度低、计算量大的问题；若能够成倍减少随机模拟误差方差，就可以有效减少随机模拟时间。

重要性抽样、分层抽样都是降低随机模拟误差的重要方式。我们以随机变量\(X\)的期望\(\theta=EX\)的估计为例，目标在于降低\(\theta\)的估计量的渐进方差。

11.1 控制变量法

要估计随机变量\(X\)的期望\(\theta=EX\)，从\(X\)中抽取\(N\)个独立样本值\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，用样本平均值就是你要估计的\(EX\)。

另外的随机变量\(Y\)满足 \[ EY=0,Cov(X,Y)<0 \] 令\(Z=X+Y\)，则 \[ E(Z)=\theta,Var(Z)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) \]

最好地利用\(Y\)与\(X\)的相关性，令 \[ Z(b)=X+bY \] 则 \[ EZ(b)=EX=\theta, \\Var(Z(b))=Var(X)+2bCov(X,Y)+b^2Var(Y), \] 求得\(Var(Z(b))\)的关于b的最小值点，得 \[ b=-Cov(X,Y)/Var(Y)=-\rho_{X,Y}\sqrt{Var(X)/Var(Y)} \] 可见，只要找到零均值随机变量\(Y\)使得\(\rho_{X,Y}\neq 0\)就可以减小\(EX\)的估计方差。实际中，\(\rho_{XY}\)

和\(Var\)未知，可以先模拟一个小的样本估计。从而获得估计值。

控制变量法要求控制变量X和Y相关且\(EY=0\)。若\(EY\neq 0\) 则

11.2 对立变量法

控制变量需要控制Y的值，并精确或近似知道\(CoV(X,Y)\) 和 \(Var(Y)\)

渐近方差：

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